중학생을 위한 수학 개념 정리 자연수, 정수, 유리수 완벽 이해하기

 

1. 자연수란 무엇인가?

자연수는 우리가 사물을 셀 때 사용하는 가장 기본적인 수입니다.
자연수에는 **1, 2, 3, 4, …**처럼 1부터 시작하는 양의 정수만 포함됩니다.

0과 음수는 자연수에 포함되지 않습니다.

예시

• 사과가 3개 있다 → 자연수
• 학생이 25명 있다 → 자연수
• 책이 1권 있다 → 자연수

자연수는 "몇 개?"를 셀 때 쓰는 수입니다.

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2. 정수란 무엇인가?

정수는 자연수에 0과 음의 정수까지 포함한 수의 범위입니다.

정수에는 다음이 포함됩니다:

• 양의 정수: 1, 2, 3, ...
• 0: 양수도 음수도 아닌 수
• 음의 정수: -1, -2, -3, ...

예시

• 온도가 -5도이다 → 정수
• 통장 잔액이 0원이다 → 정수
• 점수가 10점 올랐다 → 정수

정수는 수직선 위에서 왼쪽(음수)부터 오른쪽(양수)까지 모든 '간격 있는 수'를 포함합니다.

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3. 유리수란 무엇인가?

유리수는 분수로 나타낼 수 있는 모든 수입니다.
정수도 유리수이고, 정수가 아닌 분수나 소수도 유리수입니다.

예를 들어:

• 1/2 → 유리수
• -3/4 → 유리수
• 0.5 → 유리수 (1/2와 같음)
• 2 → 유리수 (2 = 2/1)

유리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수이며, 정수보다 더 넓은 범위입니다.

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4. 자연수, 정수, 유리수의 관계 정리

유리수,자연수,정수의 개념 확실히 잡고가자

 

아래 표는 각 수의 정의, 예시, 포함 관계를 정리한 것입니다.

분류	정의	예시	포함 관계
자연수	1부터 시작하는 양의 정수	1, 2, 3, 4, …	정수에 포함됨
정수	자연수 + 0 + 음의 정수	-3, 0, 2	유리수에 포함됨
유리수	분수로 표현 가능한 모든 수	1/2, -3/4, 2	정수 포함, 가장 넓은 개념

 

관계 요약:
자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수

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5. 실생활에서의 활용 예시

수 종류	실생활 예시
자연수	"책이 3권 있어요"
정수	"오늘 기온이 -5도예요"
유리수	"가격이 원래의 1/2로 할인되었어요"

 

이처럼 자연수, 정수, 유리수는 우리 일상에서도 자주 사용되는 수입니다.

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6. 자연수, 정수, 유리수의 수학적 성질 (간단한 증명)

1. 모든 정수는 유리수이다.

정수 n은 다음과 같이 분수로 표현할 수 있습니다.

n = n/1

n과 1은 모두 정수이며, 분모가 0이 아니므로 유리수입니다.

결론: 모든 정수는 유리수이다.

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2. 두 유리수의 합은 유리수이다.

유리수 x = a/b, y = c/d (단, a, b, c, d는 정수이고 b, d ≠ 0)

x + y = (ad + cb) / (bd)

a·d + c·b는 정수이고, b·d도 정수이며 0이 아님 → 결과도 유리수

예시:
1/2 + 1/3 = (3 + 2)/6 = 5/6 → 유리수

결론: 유리수 + 유리수 = 유리수

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3. 자연수는 항상 정수이다.

자연수는 1, 2, 3, …이고, 정수는 …, -2, -1, 0, 1, 2, …입니다.
→ 자연수는 정수 속에 포함되므로 항상 정수입니다.

결론: 모든 자연수는 정수이다.

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7. 핵심 요약

개념포함 여부예시

자연수	정수에 포함됨	1, 2, 3, 10
정수	유리수에 포함됨	-5, 0, 4
유리수	전체를 포함함	1/2, -3.5, 2

 

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8. 복습 퀴즈

1. 0은 자연수일까요?
2. -5는 유리수일까요?
3. 0.25는 정수일까요?

정답

1. X (0은 자연수가 아닙니다)
2. O (–5는 –5/1로 표현 가능 → 유리수)
3. X (0.25는 정수가 아닙니다)

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마무리

자연수, 정수, 유리수는 수학의 기초 중 기초입니다.
이 개념을 정확히 이해하면 앞으로 나올 분수, 소수, 수직선, 대수 등 다양한 수학 개념을 훨씬 쉽게 배울 수 있습니다.